Приехал по обмену, комендант забрал паспорт на регистрацию. Так и должно быть?

У меня в первый год было так же, только паспорт забирали прямо на вахте. Вернули через четыре дня. Я эти дни ходил с копией паспорта и той бумажкой из общежития, никто ничего не спросил. Совет на будущее: сделай фото всех страниц паспорта и визы в телефоне, это потом много раз пригодится, в банке, в поликлинике, везде.

Чжан Цзюньцзе, не волнуйтесь, в сентябре это обычная история. У нас в университете паспорта и карты из общежития передают в международный отдел, там оформляют уведомление о прибытии, потом всё возвращают вместе с отрывной частью уведомления. В других вузах это могут делать по-другому, поэтому у вашего друга и было иначе, тут нет одного правильного варианта.
Сроки у нас обычно несколько рабочих дней, но в начале сентября, когда приезжают сразу все, бывает и неделя. Бумажку, которую вам дали, носите с собой вместе с копией паспорта. Если пройдёт больше недели, зайдите в международную службу и спросите, на каком этапе ваши документы.
И на всякий случай: правила и сроки время от времени меняются, поэтому точные требования смотрите на официальном сайте миграционной службы или уточняйте у своих кураторов, а не только у нас на форуме.

Это небольшой листок с печатью, который остаётся у вас после постановки на учёт. Да, лучше держать его вместе с паспортом и не терять: его спрашивают при продлении и ещё в нескольких местах. Я своим студентам советую положить его в прозрачную обложку прямо внутрь паспорта, так он точно никуда не денется.